Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp là các khái niệm cơ bản của Đại số Tổ hợp. Khi nói đến những khái niệm này phần lớn các em học sinh còn “bối rối”. Mục đích của bài viết này là đưa ra những chú ý để các em có thể phân biệt được các khái niệm này. Phần lý thuyết này quan trọng, cần thiết cho các em học sinh lớp 11, ôn thi THPT Quốc gia và đặc biệt bổ ích cho các em sinh viên trước khi học “Xác suất thống kê” ở bậc Đại học, Cao đẳng. Đầu tiên tôi xin nhắc lại các khái niệm Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp.

1. Hoán vị: Cho tập hợp gồm n phần tử. Một hoán vị của n phần tử là sự sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần.

Ký hiệu và công thức: Pn=n!

Ví dụ: Có 3 vận động viên A,B,C chạy thi. Nếu không kể trường hợp có 2 vận động viên cùng về đích một lúc thì có bao nhiêu khả năng xảy ra?

Giải: Do các vận động viên về đích được tính theo một thứ tự nhất định nên ta có P3=3!=6 {khả năng}.

2. Chỉnh hợp: Cho tập hợp gồm n phần tử, và số nguyên k với 0≤k≤n. Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một nhóm gồm k phần tử khác nhau được lấy từ n phần tử và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.

Ký hiệu và công thức: Ank=n!(n−k)!=n(n−1)…(n−k+1).
Chú ý: 0!=1, An0=1,Ann=Pn=n!

Ví dụ: Một nhóm 5 bạn A, B, C, D, E. Hãy kể ra các cách phân công 3 bạn làm trực nhật, trong đó 1 bạn quét nhà, 1 bạn lau bảng và 1 bạn xếp bàn ghế.

Giải: Theo công thức chỉnh hợp ta có số cách phân công là A53=5!(5−3)!=60.

3. Tổ hợp: Cho n phần từ. Tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho.

Ký hiệu và công thức: Cnk=n!k!(n−k)!.
Một vài tình chất: Cnk=Cnn−k, Cn0=Cnn=1, Cn1=Cnn−1=n, Cn+1k=Cnk+Cnk−1.

Ví dụ: Trong một lớp có 40 sinh viên gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 em vào ban cán sự. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
1) Số nam hoặc nữ trong ban là tùy ý.
2) Phải có 1 nam và 3 nữ.

Giải: 1) Từ 40 sinh viên chọn tùy ý ra 4 sinh viên ta có số cách chọn là C404=91390.
2) Số cách chọn 1 nữ là C151, số cách chọn 3 nam là C253. Vậy số cách chọn 1 nữ và 3 nam là C151C253.

Phần cuối, mời các bạn xem trong bảng các chú ý khi dùng Tổ hợp, Chỉnh hợp và Hoán vị